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觀察下列等式：a1=
1
1×2×3
+
1
2
=
2
1×3
；a2=
1
2×3×4
+
1
3
=
3
2×4
；a3=
1
3×4×5
+
1
4
=
4
3×5
…
（1）猜想并寫出第n個等式；
（2）證明你猜想的正確性．
分析：（1）通過觀察得出規律后即可寫出第n個等式；
（2）先對分式的左邊通分，再相加后即可證出猜想的正確性．
解答：解：（1）an=
1
n(n+1)(n+2)
+
1
n+1
=
n+1
n(n+2)

 
（2）證明：左邊=
1
n(n+1)(n+2)
+
n(n+2)
n(n+1)(n+2)

=
1+n(n+2)
n(n+1)(n+2)
 
=
n2+2n+1
n(n+1)(n+2)
=
(n+1)2
n(n+1)(n+2)
=
n+1
n(n+2)
=右邊
∴
1
n(n+1)(n+2)
+
1
n+1
=
n+1
n(n+2)
．
點評：此題考查了分式的加減，關鍵是能通過觀察找出規律，并用式子表示出來．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

（2012•東莞）觀察下列等式：
第1個等式：a1=
1
1×3
=
1
2
×（1-
1
3
）；
第2個等式：a2=
1
3×5
=
1
2
×（
1
3
-
1
5
）；
第3個等式：a3=
1
5×7
=
1
2
×（
1
5
-
1
7
）；
第4個等式：a4=
1
7×9
=
1
2
×（
1
7
-
1
9
）；
…
請解答下列問題：
（1）按以上規律列出第5個等式：a5=
1
9×11
=
1
2
×(
1
9
-
1
11
)
1
9×11
=
1
2
×(
1
9
-
1
11
)
；
（2）用含有n的代數式表示第n個等式：an=
1
(2n-1)(2n+1)
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
×(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
1
2
×(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
（n為正整數）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．

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科目：初中數學 來源： 題型：

（2013•密云縣一模）觀察下列等式：
第1個等式：a1=
1
1×3
=
1
2
×（1-
1
3
）；
第2個等式：a2=
1
3×5
=
1
2
×（
1
3
-
1
5
）；
第3個等式：a3=
1
5×7
=
1
2
×（
1
5
-
1
7
）；
第4個等式：a4=
1
7×9
=
1
2
×（
1
7
-
1
9
）；
…
請解答下列問題：
（1）按以上規律列出第5個等式：a5=
1
9×11
1
9×11
=
1
2
×（
1
9
-
1
11
）
1
2
×（
1
9
-
1
11
）
；
（2）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值為
100
201
100
201
．

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題

觀察下列等式：
第1個等式：a1=數學公式=數學公式×（1-數學公式）；
第2個等式：a2=數學公式=數學公式×（數學公式-數學公式）；
第3個等式：a3=數學公式=數學公式×（數學公式-數學公式）；
第4個等式：a4=數學公式=數學公式×（數學公式-數學公式）；
…
請解答下列問題：
（1）按以上規律列出第5個等式：a5=______=______；
（2）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值為______．

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科目：初中數學 來源：2012年廣東省汕頭市中考數學試卷（解析版） 題型：解答題

觀察下列等式：
第1個等式：a1==×（1-）；
第2個等式：a2==×（-）；
第3個等式：a3==×（-）；
第4個等式：a4==×（-）；
…
請解答下列問題：
（1）按以上規律列出第5個等式：a5=______；
（2）用含有n的代數式表示第n個等式：an=______=______（n為正整數）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．

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