Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點M是AB邊的中點.

(1)如圖1，若CM=，求△ACB的周長；

(2)如圖2，若N為AC的中點，將線段CN以C為旋轉中心順時針旋轉60°，使點N至點D處，連接BD交CM于點F，連接MD，取MD的中點E，連接EF.求證：3EF=2MF.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析.

【解析】

（1）根據直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AB的長度，根據30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得BC的長度，最后根據勾股定理可得AC的長度，計算出周長即可；

（2）如圖所示添加輔助線，由（1）可得ΔBCM是等邊三角形，可證ΔBCP≌ΔCMN，進而證明ΔBPF≌ΔDCF，根據E是MD中點，得出，根據BPMC，得出，進而得出3EF=2MF即可．

解：(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點M是AB邊的中點，

∴

∴AB=2MC=，

又∵∠A=30°，

∴

由勾股定理可得，

∴△ABC的周長為++6=

(2)過點B作BPMC于P

∵∠ACB=90°，∠A=30° ，

∴

∵M為AB的中點 ，

∴

∴

∵∠ABC=60°

∴ΔBCM是等邊三角形

∴∠CBP=∠MCN=30°,BC=CM

∴在ΔBCP與ΔCMN中

∴ΔBCP≌ΔCMN(AAS)

∴BP=CN ∵ CN=CD ∴BP=CD

∵∠BPF=∠DCF=90°

∠BFP=∠DFC

∴ΔBPF≌ΔDCF

∴PF=FC BF=DF

∵E是MD中點，

∴

∵BPMC，

∴

∴，

∴

∴