Question

（2013•武漢模擬）某企業為打入國際市場，決定從A、B兩種產品中只選擇一種進行投資生產．已知投資生產這兩種產品的有關數據如下表：（單位：萬美元）

項 目 類 別	年固定 成本	每件產品 成本	每件產品 銷售價	每年最多可 生產的件數
A產品	20	m	10	200
B產品	40	8	18	120

其中年固定成本與年生產的件數無關，m為待定常數，其值由生產A產品的原材料價格決定，預計6≤m≤8．另外，年銷售x件B產品時需上交0.05x²萬美元的特別關稅．假設生產出來的產品都能在當年銷售出去．
（1）寫出該廠分別投資生產A、B兩種產品的年利潤y₁，y₂與生產相應產品的件數x之間的函數關系并指明其自變量取值范圍；
（2）如何投資才可獲得最大年利潤？請你做出規劃．

Answer 1

分析：（1）根據A產品的年利潤=每件售價×年銷售量-（年固定成本+每件成本×銷售量），B產品的年利潤=每件售價×年銷售量-（年固定成本+每件成本×銷售量）-特別關稅，分別求出y₁，y₂與x的函數關系式，根據表格寫出自變量x的取值范圍；
（2）根據y₁與y₂的函數關系式，由一次函數、二次函數的性質求最大值，利用作差法求兩個最大值的差，根據m的取值范圍，分類討論．

解答：解：（1）由年銷售量為x件，按利潤的計算公式，有生產A、B兩產品的年利潤y₁，y₂分別為：
y₁=10x-（20+mx）=（10-m）x-20，（0≤x≤200），
y₂=18x-（40+8x）-0.05x²=-0.05x²+10x-40，（0≤x≤120）；

（2）∵6≤m≤8，∴10-m＞0，∴y₁=（10-m）x-20，為增函數，
又∵0≤x≤200，∴當x=200時，生產A產品有最大利潤為（10-m）×200-20=1980-200m（萬美元）
又∵y₂=-0.05x²+10x-40=-0.05（x-100）²+460，（0≤x≤120）
∴當x=100時，生產B產品有最大利潤為460（萬美元）
現在我們研究生產哪種產品年利潤最大，為此，我們作差比較：
∵生產A產品最大利潤為1980-200m（萬美元），生產B產品最大利潤為460（萬美元），
∴（1980-200m）-460=1520-200m，且6≤m≤8，
當1520-200m＞0時，6≤m＜7.6，
當1520-200m=0時，m=7.6，
當1520-200m＜0時，7.6＜m≤8，
所以：當6≤m＜7.6時，投資生產A產品200件可獲得最大年利潤；
當m=7.6時，生產A產品與生產B產品均可獲得最大年利潤；
當7.6＜m≤8時，投資生產B產品100件可獲得最大年利潤．

點評：本題考查了二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．