Question

11．如圖，直線PA∥QB，∠PAB與∠QBA的平分線交于點C，過點C作一條直線l與兩直線PA，QB分別相交于點D，E．
（1）如圖①，當直線l與PA垂直時，求證：AD+BE=AB；
（2）如圖②，當直線l與PA不垂直且交于點D，E都在AB同側時，CD中的結論是否成立？如果成立，請證明：如不成立，請說明理由．
（3）當直線l與PA不垂直且交于點D，E都在AB異側時，（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請證明； 如果不成立，請寫出AD，BE，AB之間的數量關系（不用證明）．

Answer 1

分析 （1）根據各線段之間的長度，先猜想AD+BE=AB；
（2）在AB上截取AG=AD，連接CG，利用三角形全等的判定定理可判斷出AD=AG．同理可證BG=BE，即AD+BE=AB；
（3）畫出直線l與直線MA不垂直且交點D、E在AB的異側時的圖形，分兩種情況討論：①當點D在射線AM上、點E在射線BN的反向延長線上時；②點D在射線AM的反向延長線上，點E在射線BN上時；得到AD，BE，AB之間的關系．

解答 （1）證明：如圖1，過C作CF⊥AB于F，
∵AC平分∠PAB，BC平分∠QBA
，∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵l⊥AP，PA∥BQ，
∴∠EDA=∠DEB=90°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠ACB=90°，
在△CDA與△CFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠ADC=∠CFA=90°}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ACF，
∴AD=AF，
同理BF=BE，
∵AB=AF+BF，
∴AB=AD+BE；

（2）如圖2，在AB上截取AG=AD，連接CG．
∵AC平分∠MAB，
∴∠DAC=∠CAB，
在△ADC與△AGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AG}\\{∠DAC=∠GAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AGC（SAS），
∴∠DCA=∠ACG，
∵AP∥BQ，
∴∠DAC+∠CAB+∠GBC+∠CBE=180°，
∵∠DAC=∠CAB，∠GBC=∠CBE，
∴∠CAB+∠GBC=90°，
∴∠ACB=90°即∠ACG+∠GCB=90°，
∵∠DCA+∠ACG+∠GCB+∠BCE=180°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠GCB=∠ECB，
在△BGC與△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GCB=∠ECB}\\{BC=BC}\\{∠ABC=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△BGC≌△BEC，
∴BG=BE，
∴AD+BE=AG+BG，
∴AD+BE=AB；

（3）不成立．
存在，當點D在射線AP上、點E在射線BN的反向延長線上時（如圖3），AD-BE=AB；
當點D在射線AP的反向延長線上，點E在射線BN上時（如圖4），BE-AD=AB．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關鍵．