Question

【題目】（1）如圖1，已知AB⊥l，DE⊥l，垂足分別為B、E，且C是l上一點，∠ACD＝90°，求證：△ABC∽△CED；

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，已知∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）先證明∠BAC＝∠DCE，根據相似三角形的判定△ABC∽△CED即可；

（2）利用勾股定理和相似三角形的判定和性質解答即可．

證明：（1）∵AB⊥l，DE⊥l，

∴∠ABC＝∠CED＝90°，∠ACB+∠BAC＝90°，

∵∠ACD＝90°，

∴∠ACB+∠DCE＝90°，

∴∠BAC＝∠DCE，

∴△ABC∽△CED；

（2）如圖，連接AC，

∵∠ABC＝90°，

∴ ，

∵AD＝ ，CD＝10，

∴△ACD滿足AC2+CD2＝AD2，

∴∠ACD＝90°，

如圖，過點D作DE⊥BC延長線于點E，

由（1）得此時△ABC∽△CED，

∴ ，

∴CE＝6，DE＝8，

在Rt△BDE中，BD＝．