Question

已知，點P（x，y）在第一象限，且點P（x，y）在直線l：x+y=12的圖象上，點A（10，0）在x軸上，設△OPA的面積為S．
（1）求S關于x的關系式，并確定x的取值范圍；
（2）畫出S關于x的函數圖象；
（3）在直線l上是否存在點M使△OAM是等腰三角形？若存在，求出點M的個數．

Answer 1

分析：（1）根據題意畫出直線x+y=12的圖象，過點P作PB⊥x軸，連接OP，AP，由點P（x，y）在直線l：x+y=12的圖象上可知y=12-x，再根據三角形的面積公式即可得出S關于x的關系式；
（2）根據（1）中S與t的關系式畫出函數圖象；
（3）由于等腰三角形的兩腰不能確定，故應分OM=OA，OA=AM，OM=AM三種情況進行解答．

解答：解：（1）如圖1所示：
過點P作PB⊥x軸，連接OP，AP，
∵由點P（x，y）在直線l：x+y=12的圖象上，
∴y=12-x，
∴S=

1

2

×OA×PB=

1

2

×10×（12-x）=60-5x（0＜x＜12）；

（2）∵由（1）可知，S=60-5x，
∴當x=0時，S=60，當S=0時，x=12，
∴S與x的函數圖象如圖2所示：

（3）存在．
設點M（m，12-m），
當OM=OA時，m²+（12-m）²=100，解得m₁=6+

14

，m₂=6-

14

，
故此時M（6+

14

，6-

14

）或（6-

14

，6+

14

）；
當OA=AM時，100=（m-10）²+（12-m）²，解得m₁=18，m₂=4，
故此時M（18，-6）或（4，8）；
當OM=AM時，m²+（12-m）²=（m-10）²+（12-m）²，解得m=5，
故此時M（5，7）．
綜上所述，M點的坐標為M（6+

14

，6-

14

），（6-

14

，6+

14

），（18，-6），（4，8），（5，7）．

點評：本題考查的是一次函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數的解析式、等腰三角形的性質等相關知識，難度適中．