Question

【題目】我們定義：對于拋物線y，以y軸上的點M(0，m)為中心，作該拋物線關于點M對稱的拋物線y′，則我們稱拋物線y′為拋物線y關于點M(0，m)的“衍生拋物線”，點M為“衍生中心”．

(1)求拋物線y=x2-2關于原點O(0，0)的衍生拋物線的解析式．

(2)已知拋物線y=ax2+2ax-b(a≠0)

①若拋物線y的衍生拋物線為y′=bx2-2bx+a2(b≠0)，兩拋物線有兩個交點，且恰好是它們的頂點，求a、b的值及衍生中心的坐標；

②若拋物線y關于點(0，k+12)的衍生拋物線為y1，其頂點為A1；關于點(0，k+22)的衍生拋物線為y2，其頂點為A2；……；關于點(0，k+n2)的衍生拋物線為yn，其頂點為An…(n為正整數)．求AnAn+1的長(用含n的式子表示)．

Answer 1

【答案】（1）y'=-x2+2；（2）①a=3，b=-3，衍生中心的坐標為(0，6)；②AnAn+1= 4n+2．

【解析】

（1）根據拋物線對稱性質可知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)和衍生拋物線中y'的a值互為相反數，由中心對稱可由已知拋物線y=x2-2的頂點坐標(0，-2)求出衍生拋物線的頂點坐標(0，2)即可得到衍生拋物線的解析式．

（2）①求出拋物線的頂點坐標和衍生拋物線的頂點坐標，分別代入拋物線解析式中，即可求出a，b的值，即可得出結論；②求出拋物線頂點關于(0，k+n2)和(0，k+(n+1)2)的對稱點坐標，即可得出結論．

解：（1）∵拋物線y=x2-2的頂點為(0，-2)，

∴拋物線的頂點坐標(0，-2)關于原點(0，0)的對稱點為(0，2)，

∴衍生拋物線的頂點坐標為(0，2)，

∵衍生拋物線開口大小不變，方向改變，故二次項系數為原二次項系數互為相反數，

∴衍生拋物線的解析式為：y'=-x2+2．

（2）①拋物線y=ax2+2ax-b=a(x+1)2-a-b，

∴此拋物線的頂點坐標為(-1，-a-b)，

∵拋物線y的衍生拋物線為y′=bx2-2bx+a2=b(x-1)2+a2-b，

∴此函數的頂點坐標為(1，a2-b)，

∵兩個拋物線有兩個交點，且恰好是它們的頂點，

∴，

∴a=0(舍)或a=3，

∴b=-3，

∴拋物線y的頂點坐標為(-1，0)，拋物線y的衍生拋物線的頂點坐標為(1，12)，

∵衍生中心為兩頂點連線的中點，

∴衍生中心的坐標為(0，6)；

②拋物線y=ax2+2ax-b的頂點坐標為(-1，-a-b)，

∵點(-1，-a-b)關于點(0，k+n2)的對稱點為(1，a+b+2k+2n2)，

∴拋物線yn的頂點坐標An為(1，a+b+2k+2n2)，

同理：An+1(1，a+b+2k+2(n+1)2)，

∴AnAn+1=a+b+2k+2(n+1)2-(a+b+2k+2n2)=4n+2．