Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)F在BC邊上，過(guò)A，B，F三點(diǎn)的⊙O交AC于另一點(diǎn)D，作直徑AE，連結(jié)EF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)G，連結(jié)BE，BD，四邊形BDGE是平行四邊形．

（1）求證：AB＝BF．

（2）當(dāng)F為BC的中點(diǎn)，且AC＝3時(shí)，求⊙O的直徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2．

【解析】

（1）連接AF，根據(jù)圓周角定理得到AF⊥EG，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BD∥EG，推出BD垂直平分AF，于是得到AB=BF；

（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BF=BC，求得AB=BC，得到∠C=30°，求得∠ABC=60°，AB=，AC=，于是得到結(jié)論．

解：（1）連接AF，

∵AE是⊙O的直徑，

∴AF⊥EG，

∵四邊形BDGE是平行四邊形，

∴BD∥EG，

∴BD⊥AF，

∵∠BAC＝90°，

∴BD是⊙O的直徑，

∴BD垂直平分AF，

∴AB＝BF；

（2）∵當(dāng)F為BC的中點(diǎn)，

∴BF＝BC，

∵AB＝BF，

∴AB＝BC，

∵∠BAC＝90°，

∴∠C＝30°，

∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝，

∵AB＝BF，

∴∠ABD＝30°，

∴BD＝2，

∴⊙O的直徑長(zhǎng)為2．