Question

如圖，⊙O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為點E，且⊙O的半徑為2，AB與CD兩弦長的平方和等于28，則OE等于（ ）

A．1
B．2
C．1.5
D．4

Answer 1

【答案】分析：如圖，過O分別作AB、CD的垂線，垂足分別為N，M，然后連接OC，OB，根據已知條件就可以得到四邊形OMEN是矩形，然后利用勾股定理可以得到OB²-BN²=ON²，OC²-CM²=OM²，同時根據垂徑定理知道BN=AB，CM=CD，又OE²=ON²+MO²，最后利用已知條件即可求出OE的長度．
解答：解：如圖，過O分別作AB、CD的垂線，垂足分別為N，M，然后連接OC，OB，
∵AB⊥CD，
∴四邊形OMEN是矩形，
∴ON=ME，OM=EN，
在Rt△COM中，OC²-CM²=OM²，
在Rt△BON中，OB²-BN²=ON²，
而BN=AB，CM=CD，
又OE²=ON²+MO²，
∴OE²=ON²+MO²=OC²-CM²+OB²-BN²=2OB²-（AB²+CD²），
又∵⊙O的半徑為2，AB與CD兩弦長的平方和等于28，
∴OE²=8-7=1，
∴OE=1．
點評：此題綜合考查了垂徑定理、矩形的性質及勾股定理的應用，解題的關鍵是多次利用勾股定理得到所求線段的表達式解決問題．