Question

現(xiàn)場學(xué)習(xí)：我們知道，若銳角α的三角函數(shù)值為sinα=m，則可通過計算器得到角α的大小，這時我們用arcsinm來表示α，
記作：α=arcsinm；若cosα=m，則記α=arccosm；若tanα=m，則記α=arctanm．
解決問題：如圖，已知正方形ABCD，點E是邊AB上一動點，點F在AB邊或其延長線上，點G在邊AD上．連接ED，F(xiàn)G，交點為H．
（1）如圖1，若AE=BF=GD，請直接寫出∠EHF=______°；
（2）如圖2，若EF=CD，GD=AE，設(shè)∠EHF=α．請判斷當(dāng)點E在AB上運動時，∠EHF的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，請求出α．

Answer 1

【答案】分析：（1）作輔助線，連接FC和GC，可證得△FCG為等腰直角三角形，利用∠EHF=∠GFC=45°，問題可求．
（2）作輔助線，過點F作FM∥ED交CD于M，連接GM，則會有∠EHF=∠GFM，將問題轉(zhuǎn)化到△GFM中，據(jù)已知正方形關(guān)系，可證得四邊形EFMD為平行四邊形，△GFM為直角三角形，于是，α可求．
解答：解：（1）45°；
連接FC和CG（如圖1），由題意可知ABCD為正方形，AE=BF=GD，
∴△AED≌△BFC≌△DGC（SAS），
∴CF=GC，∠AED=∠BFC，∠BCF=∠DCG，
∴ED∥FC，
∴∠EHF=∠GFC，
又∵∠BCD=90°=∠BCG+∠GCD=∠BCG+∠BCF=∠GCF，
∴△GCF是等腰直角三角形，
∴∠GFC=∠FGC=45°，
∴∠EHF=45°；

（2）答：不會變化．
證明：如圖2，過點F作FM∥ED交CD于M，連接GM．
∵正方形ABCD中，AB∥CD，
∴四邊形EFMD為平行四邊形．
∴EF=DM，DE=FM．
∴∠3=∠4，∠EHF=∠HFM=α．
∵EF=CD，GD=AE，
∴==．
∴，
∵∠A=∠GDM=90°，
∴△DGM∽△AED．
∴=，∠1=∠2，
∴=，
∵∠2+∠3=90°，∠1=∠2，∠3=∠4．
∴∠1+∠4=90°．
∴∠GMF=90°．
在Rt△GFM中，tanα==．
∴α=arctan．
另解2：作EM⊥CD于M，連接GM，F(xiàn)M可解，應(yīng)該簡單些．
點評：本題綜合性強，難度較大，考查學(xué)生對輔助線的運用和綜合推理能力．