Question

問題：如圖1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A=80⁰，則∠BEC=         ；若∠A=n⁰，則∠BEC=         ．
探究：
（1）如圖2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB．若∠A=n⁰，則∠BEC=         ；
（2）如圖3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM．若∠A=n⁰，則∠BEC=         ；
（3）如圖4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN．若∠A=n⁰，則∠BEC=        ．

Answer 1

問題：130；；探究：（1）；（2）；（3）.

試題分析：問題：根據三角形內角和定理和角平分線的定義求解即可.
探究：（1）根據三角形內角和定理和三等分角的意義求解即可.
（2）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠E與∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BEC與∠E的關系.
（3）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和以及角平分線的定義表示出∠EBC與∠ECB，然后再根據三角形的內角和定理列式整理即可得解．
問題：如圖1，
∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB.
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）=180°-90°+∠A=90°+∠A.
∴若∠A=80⁰，則∠BEC=90°+40⁰=130⁰；若∠A=n⁰，則∠BEC=.
探究：（1）如圖2，
∵BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB.
∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）=180°-120°+∠A=.
（2）如圖3，
∵BE和CE分別是∠ABC和∠ACM的角平分線，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACM.
又∵∠ACM是△ABC的一外角，∴∠ACM=∠A+∠ABC.
∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1.
∵∠2是△BEC的一外角，∴∠BEC=∠2-∠1=∠A+∠1-∠1=∠A=.

（3）如圖4，
∵∠EBC=（∠A+∠ACB），∠ECB=（∠A+∠ABC），
∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB，=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC）
=180°-∠A-（∠A+∠ABC+∠ACB）=90°-∠A=．