Question

已知關于x的方程

1

4

x2-(m-2)x+m2=0
（1）若方程有兩個相等的實數根，求m的值，并求出此時方程的根；
（2）是否存在正數m，使方程的兩個實數根的平方和等于224．若存在，求出滿足條件的m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）方程有兩相等的實數根，利用△=0求出m的值．化簡原方程求得方程的根．
（2）利用根與系數的關系x₁+x₂=-

b

a

=4m-8，x₁x₂=

c

a

=4m²，x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，代入即可得到關于m的方程，求出m的值，再根據△來判斷所求的m的值是否滿足原方程．

解答：解：（1）∵a=

1

4

，b=-（m-2），c=m²方程有兩個相等的實數根，
∴△=0，即△=b²-4ac=[-（m-2）]²-4×

1

4

×m²=-4m+4=0，
∴m=1．
原方程化為：

1

4

x²+x+1=0 x²+4x+4=0，（x+2）²=0，
∴x₁=x₂=-2．

（2）不存在正數m使方程的兩個實數根的平方和等于224．
∵x₁+x₂=-

b

a

=4m-8，x₁x₂=

c

a

=4m²
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（4m-8）²-2×4m²=8m²-64m+64=224，
即：8m²-64m-160=0，
解得：m₁=10，m₂=-2（不合題意，舍去），
又∵m₁=10時，△=-4m+4=-36＜0，此時方程無實數根，
∴不存在正數m使方程的兩個實數根的平方和等于224．

點評：總結：（1）一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．
（4）△≥0時，根與系數的關系為：x1+x2=-

b

a

       x1x2=

c

a

．