Question

【題目】在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是斜邊BC的中點，連接AD．

（1）如圖1，E是AC的中點，連接DE，將△CDE沿CD翻折到△CDE′，連接AE′，當AD=時，求AE的值．

（2）如圖2，在AC上取一點E，使得CE=AC，連接DE，將△CDE沿CD翻折到△CDE′，連接AE′交BC于點F，求證：DF=CF．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）已知BAC=90°，AB=AC，D是斜邊BC的中點，可得∠ADC=90°，∠ACD=45°，在Rt△ADC中，求得AC=2，即可求得CE =，根據(jù)翻折可得CE=CE'=，∠ACE'=90°，由勾股定理即可求得AE的長；（2）過B作AE’的垂線交AD于點G，交AC于點H，易證△ABH≌△CAE'，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AH=CE’=CE，再證明△ABG≌△CAF，即可得AG=CF，再證明CF=AD=CD，所有DF=CF．

試題解析：

（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜邊BC的中點，

∴∠ADC=90°，∠ACD=45°，

在Rt△ADC中，AC=AD×sin45°=2，

∵E是AC的中點，

∴CE=AC=，

∵將△CDE沿CD翻折到△CDE'，

∴CE=CE'=，∠ACE'=90°，

由勾股定理得：AE==；

（2）證明：過B作AE’的垂線交AD于點G，交AC于點H，

∵∠ABH+∠BAF=90°，∠CAF+∠BAF=90°，

∴∠ABH=∠CAF，

又∵AB=AC，∠BAH=∠ACE’=90°，

∴△ABH≌△CAE'，

∴AH=CE’=CE，

∵CE=AC，

∴AH=HE=CE，

∵D是BC中點，

∴DE是△BCH的中位線，

∴DE∥BH，

∴G是AD中點，

∵在△ABG和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠ACD=45°，∠ABH=∠CAF，

∴△ABG≌△CAF，

∴AG=CF，

∵AG=AD，

∴CF=AD=CD，

∴DF=CF．