Question

2．如圖，△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=60°，AB=2$\sqrt{3}$，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F，連接EF，則線段EF長度的最小值$\frac{3}{2}\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段EF=2EH=2OE•sin∠EOH=2OE•sin60°，當半徑OE最短時，EF最短，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直徑AD，由圓周角定理可知∠EOH=$\frac{1}{2}$∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂徑定理可知EF=2EH，即可求出答案．

解答 解：由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，
如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴AD=BD=$\sqrt{6}$，即此時圓的半徑為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
由圓周角定理可知∠EOH=$\frac{1}{2}$∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=$\frac{\sqrt{6}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
由垂徑定理可知EF=2EH=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}\sqrt{2}$．

點評 本題考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形的綜合運用．關鍵是根據運動變化，找出滿足條件的最小圓，再解直角三角形．