Question

【題目】如圖①，四邊形是矩形，，點是線段上一動點 (不與重合)，點是線段延長線上一動點，連接交于點．設，已知與之間的函數關系如圖②所示．

(1)求圖②中與的函數表達式；

(2)求證：；

(3)是否存在的值，使得是等腰三角形?如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-2x+4（0＜x＜2）；（2）證明見解析；（3）存在，x=或或．

【解析】

（1）利用待定系數法可得y與x的函數表達式；

（2）先證明，又∠C=∠DAF=90°，利用兩組對應邊成比例，及夾角相等，即可證明△CDE∽△ADF；

（3）根據題意，使得是等腰三角形，可分三種情況：①若DE=DG，則∠DGE=∠DEG；②若DE=EG，如圖，作EH∥CD，交AD于H；③若DG=EG，則∠GDE=∠GED；分別列方程計算可得結論．

解：（1）設y=kx+b，

由圖象得：當x=1時，y=2，當x=0時，y=4，

代入得：，

∴，

∴y=-2x+4（0＜x＜2）；

（2）∵BE=x，BC=2

∴CE=2-x，AF=-2x+4，

∴，，

∴，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C=∠DAF=90°，

∴△CDE∽△ADF；

（3）根據題意，假設存在x的值，使得是等腰三角形，可分三種情況：

①若DE=DG，則∠DGE=∠DEG，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠B=90°，

∴∠DGE=∠GEB，

∴∠DEG=∠BEG，

在△DEF和△BEF中，

，

∴△DEF≌△BEF（AAS），

∴DE=BE=x，CE=2-x，

∴在Rt△CDE中，由勾股定理得：1+（2-x）2=x2，

∴；

②若DE=EG，如圖，作EH∥CD，交AD于H，

∵AD∥BC，EH∥CD，

∴四邊形CDHE是平行四邊形，

∴∠C=90°，

∴四邊形CDHE是矩形，

∴EH=CD=1，DH=CE=2-x，EH⊥DG，

∴HG=DH=2-x，

∴AG=2x-2，

∵EH∥CD，DC∥AB，

∴EH∥AF，

∴△EHG∽△FAG，

∴，

∴，

解得：，（舍去）；

③若DG=EG，則∠GDE=∠GED，

∵∠EDF=90°，

∴∠FDG+∠GDE=∠DFG+∠DEG=90°，

∴∠FDG=∠DFG，

∴FG=DG，

∴FG=EG，

∵AD∥BC，

∴∠FGA=∠FEB，∠FAG=∠B，

∴△FAG∽△FBE，

∴，

∴，

∴；

綜合上述，x的值為、或.