Question

8．已知：矩形ABCD中，AB=26厘米，BC=18.5厘米，點E在AD上，AE=6厘米，點P是AB邊上一動點．按如下操作：
步驟1折疊紙片，使點P與點E重合，展開紙片得折痕MN（如圖1）；
步驟2過點P作PT⊥AB，交MN所在的直線于點Q，連接QE（如圖2）
（1）如圖3所示，將紙片ABCD放在直角坐標系中，按上述步驟一、二進行操作：當PA=6厘米時，PT與MN交于點Q₁，點Q₁的坐標是（6，6）；
（2）當PA=12厘米時，在圖3中畫出MN，PT（不要求尺規作圖，不寫畫法），并求出MN與PT的交點Q₂的坐標；
（3）點P在運動過程，PT與MN形成一系列交點Q₁，Q₂，Q₃，…觀察、猜想：眾多的交點形成的圖象是什么？并直接寫出該圖象的函數表達式．

Answer 1

分析 （1）如圖2中，連接EP．首先求出EP，根據等腰直角三角形的性質，可知△PFQ₁是等腰直角三角形，求出PQ₁即可．
（2）首先求出PE，再證明△APE∽△FQ₂P，得$\frac{PE}{P{Q}_{2}}$=$\frac{AE}{PF}$，由此即可求出PQ₂解決問題．
（3）這些點形成的圖象是一段拋物線．利用待定系數法可得函數關系式：y=$\frac{1}{12}$x²+3（0≤x≤26）．

解答 解：（1）如圖2中，連接EP．

在Rt△APE中，AE=6．AP=6，∠EAP=90°
∴EP=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴EF=PF=3$\sqrt{2}$，∠APE=∠FPQ₁=45°，
∴PF=FQ₁=3$\sqrt{2}$，
∴PQ₁=$\sqrt{2}$PF=6，
∴Q₁（6，6）．
故答案為（6，6）．

（2）如圖3中，

∵∠APE+∠Q₂PF=90°，∠Q₂PF+∠PQ₂F=90°，
∴∠APE=∠PQ₂F，∵∠A=∠PFQ₂=90°，
∴△APE∽△FQ₂P，
∴$\frac{PE}{P{Q}_{2}}$=$\frac{AE}{PF}$，
∴$\frac{6\sqrt{5}}{P{Q}_{2}}$=$\frac{6}{3\sqrt{5}}$，
∴PQ₂=15，
∴Q₂（12，15）．

（3）這些點形成的圖象是一段拋物線．
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把（0，3），（6，6），（12，15）代入解析式得到
$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{36a+6b+c=6}\\{144a+12b+c=15}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{12}}\\{b=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
函數關系式：y=$\frac{1}{12}$x²+3（0≤x≤26）．

點評 本題考查四邊形綜合題、相似三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質、勾股定理、二次函數等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會構建二次函數解決實際問題，屬于中考壓軸題．