Question

已知：D為⊙O上一點，C為

AB

的中點，弦AB、CD相交于點H，延長AB到點E，使ED=EH．
（1）求證：直線ED與⊙O相切；
（2）若⊙O半徑為2，

AB

=π，求弦AB的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，OC，OC交AB于F，根據垂徑定理得出OC⊥AB，求出∠C+∠FHC=90°，根據∠DHE=∠CHF，∠EDH=∠DHE，∠C=∠ODC，推出∠ODC+∠EDH=90°，得出OD⊥DE，根據切線的判定推出即可；
（2）根據弧長公式求出∠AOB，求出∠AOC，根據解直角三角形求出AH，即可求出答案．

解答：（1）證明：連接OD，OC，OC交AB于F，
∵C為弧AB中點，OC為半徑，
∴OC⊥AB，
∴∠CFH=90°，
∴∠C+∠FHC=90°，
∵∠DHE=∠CHF，
∴∠C+∠DHE=90°，
∵DE=EH，OD=OC，
∴∠EDH=∠DHE，∠C=∠ODC，
∴∠ODC+∠EDH=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD為半徑，
∴直線ED與⊙O相切；

（2）解：連接OA、OB，
∵⊙O半徑為2，弧AB=π，設∠AOB=n°，
∴

nπ×2

180

=π，
n=90，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB，OC⊥AB，
∴∠AOC=45°，AB=2AF，
∴cos45°=

AF

OA

∵OA=2，
∴AF=

2

，
AB=2AF=2

2

．

點評：本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，對頂角相等，弧長公式，解直角三角形等知識點的綜合運用．