Question

【題目】如圖，在中，，點分別在邊上，沿所在的直線折疊，使點的對應點恰好落在邊上，若和相似，則的長為______．

Answer 1

【答案】或

【解析】

先求出AC的長度，由△CEF與△ABC相似，分兩種情況：①若CF：CE=3：4，此時EF∥AB，CD為AB邊上的高；②若CE：CF=3：4，由相似三角形角之間的關系，可以推出∠B=∠ECD與∠A=∠FCD，從而得到CD=AD=BD，即D點為AB的中點．分別求出答案即可.

解：∵在中，，

∴，

若△CEF與△ABC相似，分兩種情況：

①若CF：CE=3：4，

∵AC：BC=3：4，

∴CF：CE=AC：BC，

∴EF∥AB．

連接CD，如圖1所示：

由折疊性質可知，CD⊥EF，

∴CD⊥AB，即此時CD為AB邊上的高．

∵AB=5，

∴cosA=，

∴AD=ACcosA=3×，

∴BD=；

②若CE：CF=3：4，

∵AC：BC=3：4，∠C=∠C，

∴△CEF∽△CBA，

∴∠CEF=∠A．

連接CD，如圖2所示：

由折疊性質可知，∠CEF+∠ECD=90°，

又∵∠A+∠B=90°，

∴∠B=∠ECD，

∴BD=CD．

同理可得：∠A=∠FCD，AD=CD，

∴D點為AB的中點，

∴BD=；

故答案為：或．