Question

如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，△BCE沿BE折疊為△BFE，點(diǎn)F落在AD上．
（1）求證：△ABF∽△DFE；
（2）若△BEF也與△ABF相似，請(qǐng)求出的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在△ABF與△DFE中的對(duì)應(yīng)角∠A=∠D=90°，∠2=∠1，易證△ABF∽△DFE；
（2）需要分類討論：①△ABF∽△FBE；②△ABF∽△FEB時(shí)求出的值．
解答：（1）證明：在矩形ABCD中，∠A=∠C=∠D=90°，
又由折疊的性質(zhì)知△BCE≌△BFE，
∴∠BFE=∠C=90°，
∵∠2+∠3=∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠1，
∴△ABF∽△DFE；

（2）解：①當(dāng)△ABF∽△FBE時(shí)，∠2=∠4．
∵∠4=∠5，∠2+∠4+∠5=90°，
∴∠2=∠4=∠5=30°，
∴設(shè)CE=EF=x，則BC=，DE=，
∴DC=，
∴==；
②當(dāng)△ABF∽△FEB時(shí)，∠2=∠6，
∵∠4+∠6=90°，
∴∠2+∠4=90°，
這與∠2+∠4+∠5=90°相矛盾，
∴△ABF∽△FEB不成立．
綜上所述，的值是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．解答（2）題時(shí)，要分類討論，以防漏解．另外，解答（2）題時(shí)，充分利用了“相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等”的性質(zhì)．