Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝BC．

（1）求∠BAC的度數．

（2）將△ACD沿AC折疊為△ACF，將△ABD沿AB折疊為△ABG，延長FC和GB相交于點H．求證：四邊形AFHG是正方形．

（3）若BD＝6，CD＝4，求AD的長．

 

Answer 1

 

（1）45°

（2）略

（3）12

解析:（1）解：連結OB和OC．

∵　OE⊥BC，∴　BE＝CE．

∵　OE＝BC，∴　∠BOC＝90°，∴　∠BAC＝45°．　　　　　　　……（2分）

（2）證明：∵　AD⊥BC，∴　∠ADB＝∠ADC＝90°．

由折疊可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，

　　　　　　∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，　　　　　　　　　……（3分）

∴　∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．

∴　∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．

∴　四邊形AFHG是正方形．　　　　　　　　　　　　　　　　　　……（5分）

（3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．

設AD的長為x，則　BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．　　……（7分）

在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴　（x－6）2＋（x－4）2＝102．

解得，x1=12，x2＝－2（不合題意，舍去）．

∴　AD＝12．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……（8分）