Question

在△ABC中，已知BC=a，CA=b，AB=c，s=

a+b+c

2

，內切圓I和BC，CA，AB分別相切于點D，E，F．求證：
（1）AF=s-a；
（2）S_△ABC=s（s-a）tan

A

2

．

Answer 1

分析：（1）由切線長定理知：AE=AF、BF=BD、CD=CE，則AF=

1

2

（AB+AC-BC），再將s的式子代入上式即可證得本題所求的結論；
（2）可連接IA、IB、IC，IF、IE、ID；在Rt△AFI中，易求得⊙I的半徑為AF•tan

A

2

，即（s-a）•tan

A

2

；將△ABC分為△AIB、△AIC、△BIC三部分，分別用三角形ABC的三邊長即⊙I的半徑表示出它們的面積，進而由S_△ABC=S_△ABI+S_△BCI+S_△CAI得出所要證的結論．

解答：證明：（1）設AE=AF=x，BF=BD=y，CD=CE=z，
得方程組

x+y=c y+z=a z+x=b

；（2分）
解得x=s-a，
所以AF=s-a；（4分）

（2）設內切圓I的半徑為r，連IA，IB，IC，ID，IE，IF，
則∠AFI=90°，∠IAF=

A

2

；（6分）
r=AF•tan

A

2

=（s-a）tan

A

2

（8分）
∵S_△ABC=S_△ABI+S_△BCI+S_△CAI
=

1

2

rc+

1

2

ra+

1

2

rb
=

1

2

r（a+b+c）
=sr；（9分）
∴S_△ABC=s（s-a）tan

A

2

．（10分）

點評：此題主要考查了三角形內切圓的性質及切線長定理、三角形面積的求法等知識．