Question

已知線段AB=10，點P在線段AB上，且AP=6，以A為圓心AP為半徑作⊙A，點C在⊙A上，以B為圓心BC為半徑作⊙B，射線BC與⊙A交于點Q（不與點C重合）．
（1）當⊙B過點A時（如圖1），求CQ的長；
（2）當點Q在線段BC上時（如圖2），設BC=x，CQ=y，試求y關于x的函數關系式，并寫出定義域；
（3）當由A、P、Q、C四點構成的四邊形是梯形時，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）已知了兩個圓的半徑長，可通過證△CAQ∽△CBA，根據得到的比例線段即可求得CQ的長．
（2）過A作AH⊥BC于H，由于AC=AQ，根據等腰三角形的性質可得到CH、QH的長，在Rt△AQH和Rt△ABH中，分別用勾股定理表示出AH²，聯立兩式即可得到y、x的函數關系式．
（3）此題要分兩種情況考慮：
①點A、Q在⊙B內部時，若四邊形APQC是梯形，則PQ∥AC，在（2）題已求得CQ即y的表達式，可根據平行線分線段成比例定理，列式求得x的值；
②當A、Q在⊙B外部時，若四邊形APCQ是梯形，則AQ∥PC，可仿照（2）的方法，過A作AH⊥BQ于H，求得QH的表達式，即可得到CQ的長，然后根據平行線分線段成比例定理，即可列式求得x的值．

解答：解：（1）∵C、Q在⊙A上，
∴AC=AQ，∴∠C=∠AQC，
∵⊙B過A、C，
∴BA=BC，∴∠C=∠CAB，
∴∠AQC=∠CAB，
∵∠C=∠C，
∴△CAQ∽△CBA，（1分）
∴AC²=CQ•CB，（1分）
即6²=10•CQ，
∴CQ=3.6．（2分）

（2）作AH⊥CQ，則QH=CH=

y

2

，（1分）
且AQ²-QH²=AB²-BH²；（1分）
∵BH=x-

y

2

，且AQ=6，∴36-

y2

4

=100-(x-

y

2

)2
解之得：y=

x2-64

x

；（8＜x≤16）

（3）當Q在BC上時：如圖1
A、P、Q、C四點構成的四邊形是梯形，
且AC∥PQ，則

BA

AP

=

BC

CQ

∵CQ=y=

x2-64

x

，CB=x，AP=6，
∴

10

6

=

x

x2-64 x

，
∵x＞0，
∴解得：x=4

10

；（2分）

當Q在BC延長線上時：如圖2
A、P、Q、C四點構成的四邊形是梯形，
且AQ∥PC，則

BP

AP

=

BC

CQ

，
作AH⊥CQ，則QH=CH，且AQ²-QH²=AB²-BH²
即36-QH²=100-（x-QH）²，得QH=

64-x2

2x

，
則CQ=

64-x2

x

，（1分）
則

4

6

=

x

64-x2 x

，
∵x＞0，
∴解得：x=

8

5

10

，（2分）
∴當A、P、Q、C四點構成的四邊形是梯形時，BC的長為4

10

或

8

5

10

．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識，注意（3）題要根據A、Q的不同位置分類討論，不要漏解．