Question

在邊長為10的正方形ABCD中，以AB為直徑作半圓O，如圖①，E是半圓上一動點，過點E作EF⊥AB，垂足為F，連結DE.

（1）當DE=10時，求證：DE與圓O相切；
（2）求DE的最長距離和最短距離；
（3）如圖②，建立平面直角坐標系，當DE =10時，試求直線DE的解析式.

Answer 1

（1）證明見解析（2）（3）或

（1）證明：連結，
由題意得，------------1分
，，為公共邊
∴ 
∴-------------------2分
（利用勾股定理逆定理相應給分）
∴
∴與圓相切.-------------------3分
（2）當點運動到與點重合的位置時，
為正方形的對角線，所以此時最長，有：
-----------------4分
當點運動到線段與半圓的交點處時，最短.
-----------------5分
證明如下：
在半圓上任取一個不與點重合的點，連結，.
在中，∵  即：，
∵    ∴
∵點是任意一個不與點重合的點，∴此時最短.        -----------------6分
∴-------------7分
（3）當點E與點A重合時，DE=DA=10，此時，直線DE的解析式為y=10；
---------8分
當點E與點A不重合時，過點E作GH⊥軸，分別交，軸于點，，連結.
則四邊形是矩形，且為圓的切線
∴=90°
∴-----------------------9分
又∵
∴∽
∴----------------------10分
設，則有：，
得：，-----------------------11分
解得：， 即：----------------12分
又直線DE過點D(10,10),設直線解析式為，則有：，
解得：，即：
∴當時，直線的解析式為或-----------------------14分
以下兩種解法涉及高中知識，僅供參考：
另解2:
（1）當點E與點A重合時，DE=DA=10，此時，直線DE的解析式為y=10；
（2）當點E與點A不重合時，，

設直線且經過點（10，10），代入求得
所以直線DE的解析式為
另解3:
依題意得:點O的坐標為(0,5),設直線DE的解析式為
由點到直線的距離公式得: ,即   ①
直線DE過點D(10,10),得   ②
由①②解得：，解得
所以直線DE的解析式為
（1）如圖1，連接OE，OD，由題意得，DE=DA=10，利用（SSS）判定△AOD≌△EOD，從可得∠OED=∠OAD=90°即可．
（2）當點E運動到與B點重合的位置時，如圖2，DE為正方形ABCD的對角線，所以此時DE最長，利用勾股定理求得DE，證明當點E運動到線段OD與半圓O的交點處時，DE最短．然后求得DE=OD-OE即可．
（3）當點E與點A重合時，DE=DA=10，此時，直線DE的解析式為y=10；如圖4，當點E與點A不重合時，過點E作GH⊥x軸，分別交AD，x軸于點G，H，連接OE．則四邊形AFEG是矩形，且DE為圓O的切線，求證△OFE∽△DGE，利用其對應邊成比例，設E（m，n），則有：EF=m，OF=OB-FB=5-n求得即可