Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2，點D是BC的中點，點E是邊AB上一動點，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于點F．若△AB′F為直角三角形，則AE的長為__________．

Answer 1

【答案】3或

【解析】

△AB′F為直角三角形，應分兩種情況進行討論.當∠AFB′為直角時，利用勾股定理求出B′E，也就是BE的長，便求出AE。當∠AB′F為直角時，過A作AN⊥EB′，交EB′的延長線于N，構造Rt△B′EF，利用勾股定理便可求出AE.

解：①當B′D⊥AE時，△AB′F為直角三角形，如下圖：

根據題意，BE=B′E,BD= B′D=BC=. ∠B=∠EB′F

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2

∴AB===4

∴∠B=∠EB′F =30°.

∵在Rt△BDF中，∠B=30°

∴DF=BD=

∴B′F=B′D-DF=-=

∵在Rt△B′EF中，∠EB′F =30°

∴EF=B′E,

∵B′F===EF,

即=EF,

∴EF=，則BE=1，

∴AE=AB-BE=4-1=3.

②當D B′⊥A B′時，△AB′F為直角三角形，如下圖：

連接AD，過A作AN⊥EB′，交EB′的延長線于N.

根據題意，BE=B′E,BD=CD=B′D=BC=. ∠B=∠EB′F

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2

∴AB===4

∴∠B=∠EB′F =30°.

∵∠AB′F=90°

∴∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=120°

∴Rt△AB′N中，∠AB′N=60°，∠B′AN=30°

∴B′N=AB′

在Rt△AB′D和Rt△ACD中

∴Rt△AB′D≌Rt△ACD（HL）

∴AB′=AC=2

∴B′N=1,AN=

設AE=x,則BE= B′E=4-x

∵在Rt△AEN中，

∴()2+(4-x+1)2=x2

∴x=

綜上，AE的長為3或.