Question

如圖，將長方形OABC放在直角坐標系中，O為坐標原點，點A在y軸正半軸上，點E是邊AB上的一個動點（不與點A、B重合），過點E的反比例函數y=

k

x

（x＞0）的圖象與邊BC交于點F．
（1）若△OAE、△OCF的面積分別記為S₁、S₂，且S₁+S₂=2，求k的值；
（2）若長方形OABC的邊長OA=2，OC=4．
①求k的取值范圍；
②設四邊形OAEF的面積為S，求證：S≤5．

Answer 1

分析：（1）點E、F反比例函數y=

k

x

（k＞0）圖象上的點，S_△OAE=S_△OCF=

k

2

，再由S₁+S₂=2即可求出k的值；
（2）①E是邊AB上的一個動點（不與點A、B重合），根據OA=2，OC=4可直接得k的取值范圍；
②設E（

k

2

，2），F（4，

k

4

），可得BE=4-

k

2

，BF=2-

k

4

，然后表示出△BEF、△OFC、矩形OABC的面積，然后根據S_{四邊形AOFE}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF表示出面積，再求出最大值即可證出結論．

解答：解：（1）∵點E、F反比例函數y=

k

x

（k＞0）圖象上的點，
∴S_△OAE=S_△OCF=

k

2

，
∴S₁+S₂=

k

2

+

k

2

=2，
解得，k=2；

（2）①∵點E是邊AB上的一個動點（不與點A、B重合），OA=2，OC=4
∴0＜k＜8；

②∵四邊形OABC為矩形，OA=2，OC=4，
∴設E（

k

2

，2），F（4，

k

4

），
∴BE=4-

k

2

，BF=2-

k

4

，
∴S_△BEF=

1

2

（4-

k

2

）（2-

k

4

）=

1

16

k²-k+4，
∵S_△OAE=S_△OCF=

1

2

×4×

k

4

=

k

2

，S_矩形OABC=2×4=8，
∴S=S_{四邊形AOFE}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF=8-（

1

16

k²-k+4）-

k

2

=-

1

16

k²+

1

2

k+4，
=-

1

16

（k-4）²+5
∴當k=4時，四邊形AOFE的面積最大，
∴S≤5；

點評：此題主要考查了反比例函數的綜合運用以及反比例函數y=

k

x

（x＞0）k的幾何含義和點在雙曲線上，點的橫縱坐標滿足反比例的解析式以及二次的頂點式及其最值問題，利用數形結合得出函數最值是解題關鍵．