Question

（1）如圖（1），在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，易知AC⊥BD，

CO

AC

=

1

2

；
（2）如圖（2），若點E是正方形ABCD的邊CD的中點，即

DE

DC

=

1

2

，過D作DG⊥AE，分別交AC、BC于點F、G．求證：

CF

AC

=

1

3

；
（3）如圖（3），若點P是正方形ABCD的邊CD上的點，且

DP

DC

=

1

n

（n為正整數），過點D作DN⊥AP，分別交AC、BC于點M、N，請你先猜想CM與AC的比值是多少，然后再證明你猜想的結論．

Answer 1

分析：（2）由同角的余角知，∠1=∠2，由ASA證得△ADE≌△DCG?CG=DE，由BC∥AD?

CG

AD

=

CF

AF

=

1

2

，故有

CF

AC

=

1

3

；
（3）同理猜想得到

CN

BC

=

DP

DC

=

1

n

，有

CM

AC

=

1

n+1

．

解答：（2）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=DC，
∴∠1+∠ADG=90°，
又∵DG⊥AE，
∴∠2+∠ADG=90°，
∴∠1=∠2，
∵AD=DC，∠1=∠2，∠ADE=∠DCG=90°，
∴△ADE≌△DCG（ASA），
∴CG=DE，
又∵E為BC中點，
∴CG=DE=

1

2

DC，
∴CG=

1

2

AD，
∵BC∥AD，
∴

CG

AD

=

CF

AF

=

1

2

，
∴

CF

AC

=

1

3

；（8分）

（3）猜想

CM

AC

=

1

n+1

；（10分）
同理可證

CN

BC

=

DP

DC

=

1

n

，
又∵BC∥AD，
∴

CM

AM

=

CN

AD

=

1

n

，
∴

CM

AC

=

1

n+1

．（14分）

點評：本題主要利用了正方形的性質，全等三角形的判定和性質和平行線的性質進行求解．