Question

已知等邊三角形ABC和點P，設點P到△ABC的三邊AB，AC，BC的距離為h₁，h₂，h₃，△ABC的高AM為h．
①當點P在△ABC的一邊BC上．如圖（1）所示，此時h₃=0，可得結論h₁+h₂+h₃

=

h．（填“＞”或“=”或“＜”）
②當點P在△ABC內部時，如圖（2）所示；當P在△ABC外部時，如圖（3）所示，這兩種情況上述結論是否成立？若成立，給予證明；若不成立，寫出新的關系式（不要求證明）．

Answer 1

分析：①連接AP，由S_△ABC=S_△ABP+S_△APC得出

1

2

BC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂再由△ABC是等邊三角形可知BC=AB=AC，故可得出結論；
②當點P在△ABC內時，連接PA，PB，PC，由S_△PAB+S_△PAC+S_△PBC=S_△ABC可得

1

2

AB•h1+

1

2

AC•h2+

1

2

BC•h3=

1

2

BC•h，再由△ABC是等邊三角形知AB=AC=BC，故可得出結論；同理，當點P在△ABC外時，連接PB，PC，PA由三角形的面積公式得：S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC-S_△PBC，
即

1

2

BC•AM=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PE-

1

2

BC•PF，由△ABC是等邊三角形知AB=AC=BC，故可得出結論．

解答：解：①（1）h=h₁+h₂，理由如下：
連接AP，則 S_△ABC=S_△ABP+S_△APC
∴

1

2

BC•AM=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PF
即

1

2

BC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂
又∵△ABC是等邊三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h₁+h₂．


②當點P在△ABC內時，結論成立．證明如下：
如圖2，連接PA，PB，PC
∵S_△PAB+S_△PAC+S_△PBC=S_△ABC
∴

1

2

AB•h1+

1

2

AC•h2+

1

2

BC•h3=

1

2

BC•h
∵△ABC是等邊三角形
∴AB=AC=BC，
∴h₁+h₂+h₃=h
當點P在△ABC外時，結論不成立，
理由如下：如圖（3）連接PB，PC，PA
由三角形的面積公式得：S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC-S_△PBC，
即

1

2

BC•AM=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PE-

1

2

BC•PF，
∵AB=BC=AC，
∴h₁+h₂-h₃=h．

點評：本題考查的是等邊三角形的性質及三角形的面積公式，熟知等邊三角形三邊相等的性質是解答此題的關鍵．