Question

如圖，正比例函數y=

1

2

x與反比例函數y=

k

x

的圖象相交于A、B兩點，過B作BC⊥x軸，垂足為C，且△BOC的面積等于4．
（1）求k的值；
（2）求A、B兩點的坐標；
（3）在x軸的正半軸上是否存在一點P，使得△POA為直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）用B點坐標表示△BOC的面積建立關系式求k；
（2）解由函數解析式組成的方程組；
（3）存在．分別以OA為斜邊和直角邊分類討論．

解答：解：（1）設點B（x，y），則BC=|y|=-y，CO=|x|=-x，
∵B（x，y）在反比例函數y=

k

x

的圖象上，
∴xy=k，因△BOC的面積等于4，

1

2

BC•CO=

1

2

(-x)•(-y)=

1

2

xy=4，
∴k=8；

（2）∵k=8，所以反比例函數的解析式為y=

8

x

，
解方程組：

y= 1 2 x y= 8 x

，得：x₁=4，y₁=2；x₂=-4，y₂=-2，
∴點A（4，2），B（-4，-2）；

（3）存在．
當AP⊥x軸時，如圖（1）點P（4，0），
當AP⊥AO時，如圖（2）設P（m，0），過點A作AD⊥x軸于D，
由A（4，2）得AD=2，DO=4，PD=m-4，
在Rt△ADO中，AO²=AD²+DO²=20，
在Rt△ADP中，AP²=AD²+DP²=4+（m-4）²，
在Rt△AOP中，PO²=AO²+AP²，
即：20+[4+（m-4）²]=m²，解得m=5，
所以P（5，0），
綜上，在x軸上存在點P（4，0）或P（5，0），使得△POA為直角三角形．

點評：注意點的坐標與線段長度的聯系；分類討論思想的應用，培養嚴謹的思維習慣．