Question

如圖所示，在△ABC中，D、G分別是AB、AC上的點，且BD＝CG，M、N分別是BG、CD的中點，過MN的直線交AB于P，交AC于Q．

求證：AP＝AQ．

Answer 1

答案：
解析：

證明：取BC的中點E，連ME，NE．在△GBC中，∵EM是中位線，∴EMCG，∠EMN＝∠AQP．在△BCD中，∵EN是中位線，∴ENBD，∠ENM＝∠APQ，∵BD＝CG．∴EM＝EN．∴∠EMN＝∠ENM，∴∠APQ＝∠AQP∴AP＝AQ 　　解析：要證明AP＝AQ，只要證明∠APQ＝∠AQP，為利用已知條件BD＝CG及M、N為BG、CD的中點，故可考慮添加中位線為輔助線，即取BC邊的中點E，連EM、EN，則EM、EN分別是△BCG和△BCD的中位線．由中位線定理可得EMCG，ENBD．由BD＝CG知EM＝EN，得∠APQ＝∠ENM＝∠EMN＝∠AQP，∴AP＝AQ． 　　思維延伸：當已知條件中有中點的條件時，可考慮構造三角形的中位線，利用中位線的性質解決相關的問題．