Question

9．如圖，直角三角形紙片ACB，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，將其折疊，使點C落在斜邊上的點C′，折痕為AD；再沿DE折疊，使點B落在DC′的延長線上的點B′處．
（1）求∠ADE的度數；
（2）求折痕DE的長．

Answer 1

分析 （1）根據折疊的性質可得DA和DE分別是∠CDC′和∠BDB′的角平分線，據此即可求解；
（2）在直角△ABC中利用勾股定理求得BC的長，設DC=DC′=x，則BD=4-x，在直角△ABC和直角△BDC′分別利用三角函數即可得到關于x的方程，求得x的值，再在直角△ACD中利用勾股定理求得AD的長，再根據∠CAD=∠BAD，則函數值相等，據此列方程求解．

解答 解：（1）∵∠ADC=∠ADC′，∠BDE=∠B′DE，
又∵∠ADC+∠ADC′+∠BDE+∠B′DE=180°，
∴∠ADE=90°；
（2）∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{3}}$=4．
由折疊可知，∠ACD′=∠ACD=90°，DC=DC′，AC′=AC=3，BC′=5-3=2．
設DC=DC′=x，則BD=4-x．
∵在直角△ABC中，tan∠B=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
又∵在直角△BDC′中，tan∠B=$\frac{DC′}{BC′}$=$\frac{x}{2}$．
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{3}{4}$．
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴AD=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
∵∠CAD=∠BAD，
∴tan∠CAD=$\frac{CD}{AC}$=tan∠BAD=$\frac{DE}{AD}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}}{3}$=$\frac{DE}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$，
∴DE=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$．

點評 本題考查了圖形的折疊與三角函數，角度相等則對應的三角函數值相等，據此求得DC的長度是本題的關鍵．