Question

【題目】如圖，中，，點是邊上的中點，點是邊上的一個動點，延長到，使，作，其中點在上．

（1）如圖①，若，則_______．

（2）如圖②，若，求的值；

（3）如圖③，若，延長到點，使得，連接，在點運動的過程中，探究：當的值為多少時，線段與的長度和取得最小值?

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)

【解析】

(1)連接AD，首先證明AC=CD，再證明△DCG∽△ACE，可得；

(2)連接AD．證明△DCG∽△ACE，可得，設AB=AC=5k，BD=CD=4k，則AD=，由此即可解決問題；
(3)由題意，當A，M，D共線時，AM+DM的值最小．想辦法證明∠GDM=∠GDC=45°，設CH=，則PC=2，PH=DH=，推出AC=2CD=2()，由此即可解決問題．

(1)如圖，連接AD，

∵AB=AC，∠B=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD=BD=DC，
∴AC=CD，
∵∠CDE=∠CAE，∠DCG=∠ACE，
∴△DCG∽△ACE，
∴；
(2)如圖，連接AD，

∵∠CDE=∠CAE，∠DCG=∠ACE，
∴△DCG∽△ACE，
∴，

∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
設AB=AC=5k，BD=CD=4k，

則AD=，

∴；
(3)如圖，由題意知，當A、M、D三點共線時，AM+DM的值最小．

連EM，取AC的中點O，連接OE，OD，作PH⊥CD于H．
∵AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠CDA=90°，
∴AC=2CD，
∵∠CDE=∠CAE，∠DCG=∠ACE，
∴△DCG∽△ACE，
∴，
∴EC=2CG，
∵CM=2CG，
∴CM=CE，∠DCG=∠ACE，
∵∠ACD=∠DCG+∠GCP=∠ACE+∠GCP=∠ECM=60°，
∴△ECM是等邊三角形，
∵CD=CO，∠DCM=∠OCE，CM=CE，
∴△DCM≌△OCE(SAS)，
∴OE=DM，
∵∠CDE=∠CAE，
∴A，D，C，E四點共圓，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠AEC=90°，
∵OA=OC，
∴OE=OC=CD=DM，
∵CG=GM，
∴∠GDM=∠GDC=45°，

設CH=，則PC=，PH=DH=，
∴AC=2CD=2()，
∴．