Question

如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于點F，BD分別交CE、AE于點G、H．試猜測線段AE和BD的數量和位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：由于條件可知CD=AC，BC=CE，且可求得∠ACE=∠DCB，所以△ACE≌△DCB，即AE=BD，∠CAE=∠CDB；又因為對頂角相∠AFC=∠DFH，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE⊥BD．
解答：解：猜測AE=BD，AE⊥BD；
理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=90°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB，
又∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴AC=CD，CE=CB，（4分）
∵在△ACE與△DCB中，

∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD，（6分）∠CAE=∠CDB；
∵∠AFC=∠DFH，∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DHF=∠ACD=90°，
∴AE⊥BD．
故線段AE和BD的數量相等，位置是垂直關系．
點評：此題主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性質及對頂角的性質等知識點．