Question

如圖：在⊙O中，經過⊙O內一點P有一條弦AB，且AP=4，PB=3，過P點另有一動弦CD，連接AC，DB．設CP=x，PD=y．

（1）求證：△ACP∽△DBP．
（2）寫出y關于x的函數解析式．
（3）若CD=8時，求S△ACP：S△DBP的值．

Answer 1

(1)證明內聯解析；（2）y=；（3）4：1.

試題分析：（1）△ACP和△DBP中，根據圓周角定理即可得到兩組對應角相等，由此得證；
（2）根據相似三角形得到的比例線段即可求出y、x的函數關系式；
（3）已知CD=CP+PD=8，聯立（2）的函數關系式，即可求得CP、PD的長，進而可根據相似三角形的面積比等于相似比的平方得出所求的結果．
試題解析：（1）∵∠C=∠B，∠A=∠D，
∴△ACP∽△DBP；
（2）由（1）可得：CP•PD=AP•PB，即xy=12；
∴y=
（3）由題意得
；
由②得y=8-x，代入①得x（8-x）=12
得x₁=2，x₂=6
∴CP=2，PD=6或CP=6，PD=2
S_△ACP：S_△DBP=CP²：BP²=2²：3²=4：9或S_△ACP：S_△DBP=CP²：BP²=6²：3²=4：1．
考點:1. 圓周角定理; 2.根據實際問題列反比例函數關系式；3.相似三角形的判定與性質.