Question

9．如圖，⊙M與x軸相交于A（2，0）、B（8，0），與y軸相切于點C，P是優弧AB上的一點，則tan∠APB為（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 如圖，作MN⊥AB于N，連接PA、PB、MA、MB、MC．首先證明四邊形CONM是矩形，可得CM=AM=ON=5，在RtAMN中，MN=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，由∠P=$\frac{1}{2}$∠AMB=∠AMN，推出tan∠APB=tan∠AMN=$\frac{AN}{MN}$=$\frac{3}{4}$．

解答 解：如圖，作MN⊥AB于N，連接PA、PB、MA、MB、MC．

∵A（2，0），B（8，0），
∴OA=2，OB=8，AN=BN=3，
∵C是切點，
∴∠MCO=∠CON=∠MNO=90°，
∴四邊形CONM是矩形，
∴CM=AM=ON=5，
在RtAMN中，MN=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵∠P=$\frac{1}{2}$∠AMB=∠AMN，
∴tan∠APB=tan∠AMN=$\frac{AN}{MN}$=$\frac{3}{4}$．
故選B．

點評 本題考查切線的性質、圓周角定理、坐標與圖形、解直角三角形、勾股定理等知識，解題的關鍵是掌握添加輔助線的方法，構造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．