Question

5．如圖，四邊形ABCD、CEFG都是正方形，點G在線段CD上，連接BG，DE和FG相交于點O．設AB=a，CG=b（a＞b）．下列結論：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③$\frac{DG}{GC}$=$\frac{GO}{CE}$；④（a-b）²•S_△EFO=b²•S_△DGO．其中結論正確的個數是（　　）

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 由四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，根據正方形的性質，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，則可根據SAS證得①△BCG≌△DCE；然后延長BG交DE于點H，根據全等三角形的對應角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，則可得②BH⊥DE；由△DGO與△DCE相似即可判定③錯誤，證明△EFO∽△DGO，即可求得④正確；即可得出結論．

解答 解：①∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，CD∥EF，
∴∠BCG=∠DCE．
在△BCG和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCG=∠DCE}&{\;}\\{CG=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
故①正確；
②延長BG交DE于點H，如圖所示：
∵△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠CBG+∠BGC=90°，
∴∠CDE+∠DGH=90°，
∴∠DHG=90°，
∴BH⊥DE；
∴BG⊥DE．
故②正確；
③∵四邊形GCEF是正方形，
∴GF∥CE，
∴$\frac{DG}{DC}=\frac{GO}{CE}$，
$\frac{DG}{GC}=\frac{GO}{CE}$是錯誤的．
故③錯誤；
④∵DC∥EF，
∴△EFO∽△DGO，
∴$\frac{{S}_{△EFO}}{{S}_{△DGO}}$=（$\frac{EF}{DG}$）²=（$\frac{b}{a-b}$）²=$\frac{{b}^{2}}{（a-b）^{2}}$，
∴（a-b）²•S_△EFO=b²•S_△DGO．
故④正確；
正確的有3個，故選：B．

點評 本題主要考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質及相似三角形的判定和性質，綜合性較強，掌握三角形全等、相似的判定和性質是解題的關鍵．