Question

已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB為直徑的圓M交OC于D、E，連結AD、BD、BE。
（1）在不添加其他字母和線的前提下，直接寫出圖1中的兩對相似三角形。
_____________________，______________________ ；
（2）直角梯形OABC中，以O為坐標原點，A在x軸正半軸上建立直角坐標系（如圖2），若拋物線y=ax²-2ax-3a（a<0）經過點A、B、D，且B為拋物線的頂點。
①寫出頂點B的坐標（用a的代數式表示）___________。
②求拋物線的解析式。
③在x軸下方的拋物線上是否存在這樣的點P：過點P做PN⊥x軸于N，使得△PAN與△OAD相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。

                 圖1                                                       圖2 

Answer 1

解：（1）△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB；
（2）①（1，-4a），
②∵△OAD∽△CDB，
∴，
∵ax²-2ax-3a=0，可得A（3，0），
又OC=-4a，OD=-3a，CD=-a，CB=1，
∴，
∴，　　
∵，　　
∴，
故拋物線的解析式為：；
③存在，
設P（x，-x²+2x+3）
∵△PAN與△OAD相似，且△OAD為等腰三角形，
∴PN=AN，
當x<0（x<-1）時，-x+3=-（-x²+2x+3），x₁=-2，x₂=3（舍去），
∴P（-2，-5）
當x>0（x>3）時，x-3=-（-x²+2x+3），x₁=0，x₂=3（都不合題意舍去），
符合條件的點P為（-2，-5）。