Question

如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點C，A（1，1）、B（3，1）．動點P從O點出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動．過P點作PQ垂直于直線OA，垂足為Q．設P點移動的時間為t秒（0＜t＜4），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．
（1）求經過O、A、B三點的拋物線解析式；
（2）求S與t的函數關系式；
（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使得以C、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
（4）將△OPQ繞著點P順時針旋轉90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出此拋物線的解析式，把A、B兩點的坐標代入此解析式求出a、b的值即可；
（2）由與t的取值范圍不能確定，故應分三種情況進行討論，
①當0＜t≤2，重疊部分的面積是S_△OPQ，過點A作AF⊥x軸于點F，在Rt△OPQ中利用三角形的面積公式及特殊角的三角函數值即可求出其面積；
②當2＜t≤3，設PQ交AB于點G，作GH⊥x軸于點H，∠OPQ=∠QOP=45°，則四邊形OAGP是等腰梯形，
重疊部分的面積是S_梯形OAGP，由梯形的面積公式即可求解；
③當3＜t＜4，設PQ與AB交于點M，交BC于點N，重疊部分的面積是S_{五邊形OAMNC}．
因為△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，所以重疊部分的面積是S_{五邊形OAMNC}=S_梯形OABC-S_△BMN，進而可求出答案；
（3）利用已知得出∠BAO=∠QPC，只要=或者=即可得出以C、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似，進而求出即可；
（4）根據圖形旋轉的性質可求出將△OPQ繞著點P順時針旋轉90°時P、Q兩點的坐標，再根據拋物線的解析式即可求出t的值．
解答：解：（1）設拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0），將A．B點坐標代入得出：，
解得：，
故經過O、A、B三點的拋物線解析式為：y=-x²+x．

（2）①當0＜t≤2時，重疊部分為△OPQ，過點A作AD⊥x軸于點D，
如圖1．
在Rt△AOD中，AD=OD=1，∠AOD=45°．
在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°．
∴OQ=PQ=t．
∴S=S_△OPQ=OQ•PQ=×t×t=t²（0＜t≤2）；
②當2＜t≤3時，設PQ交AB于點E，重疊部分為梯形AOPE，
作EF⊥x軸于點F，如圖2．∵∠OPQ=∠QOP=45°
∴四邊形AOPE是等腰梯形∴AE=DF=t-2．
∴S=S_梯形AOPE=（AE+OP）•AD=（t-2+t）×1
=t-1（2＜t≤3）；
③當3＜t＜4時，設PQ交AB于點E，交BC于點F，
重疊部分為五邊形AOCFE，如圖3．
∵B（3，1），OP=t，∴PC=CF=t-3．
∵△PFC和△BEF都是等腰直角三角形
∴BE=BF=1-（t-3）=4-t
∴S=S_{五邊形AOCFE}=S_梯形OABC-S_△BEF，
=（2+3）×1-（4-t）²
=-t²+4t-（3＜t＜4）；

（3）連接QC，OB，
∵AB∥OC，
∴∠BAO+∠AOC=180°，
∵∠AOC=45°，∠OQP=90°，
∴∠QPO=45°，
∵∠QPO+∠QPC=180°，
∴∠BAO=∠QPC，
只要=或者=即可得出以C、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似，
得出：3-t=×t 或3-t=×t
解得：t=2或t=；

（4）存在，t₁=1，t₂=2．
將△OPQ繞著點P順時針旋轉90°，此時Q（t+，），O（t，t）
①當點Q在拋物線上時，=-×（t+）²+×（t+），
解得t=2；
②當點O在拋物線上時，t=-t²+t，
解得：t=1．
點評：本題考查了二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求二次函數的解析式，三角形的面積公式、梯形的面積公式及圖形旋轉的性質，涉及面較廣，難度較大．