Question

如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點C、A（1，1）、B（3，1）．動點P從O點出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動．過P點作PQ垂直于直線OA，垂足為Q．設P點移動的時間為t秒（0＜t＜4），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．
（1）求經過O、A、B三點的拋物線解析式；
（2）求S與t的函數關系式；
（3）將△OPQ繞著點P順時針旋轉90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設拋物線解析式為y=ax²+bx，把已知坐標代入求出拋物線的解析式．
（2）求出S的面積，根據t的取值不同分三種情況討論S與t的函數關系式．
（3）根據旋轉的性質，代入解析式，判斷是否存在．

解答：解：（1）方法一：由圖象可知：拋物線經過原點，
設拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0）．
把A（1，1），B（3，1）代入上式得：（1分）

1=a+b 1=9a+3b

，
解得

a=- 1 3 b= 4 3

．（3分）
∴所求拋物線解析式為y=-

1

3

x²+

4

3

x．（4分）
方法二：∵A（1，1），B（3，1），
∴拋物線的對稱軸是直線x=2．
設拋物線解析式為y=a（x-2）²+h（a≠0）（1分）
把O（0，0），A（1，1）代入
得

0=a(0-2)2+h 1=a(1-2)2+h

，
解得

a=- 1 3 h= 4 3

，（3分）
∴所求拋物線解析式為y=-

1

3

（x-2）²+

4

3

．（4分）

（2）分三種情況：
①當0＜t≤2，重疊部分的面積是S_△OPQ，過點A作AF⊥x軸于點F，
∵A（1，1），
∴在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，
∴PQ=OQ=tcos 45°=

2

2

t．S=

1

2

(

2

2

t)2=

1

4

t²，（6分）
②當2＜t≤3，設PQ交AB于點G，作GH⊥x軸于點H，∠OPQ=∠QOP=45°，
則四邊形OAGP是等腰梯形，重疊部分的面積是S_梯形OAGP．
∴AG=FH=t-2，
∴S=

1

2

（AG+OP）AF=

1

2

（t+t-2）×1=t-1．（8分）
③當3＜t＜4，設PQ與AB交于點M，交BC于點N，重疊部分的面積是S_{五邊形OAMNC}．
因為△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，
所以重疊部分的面積是S_{五邊形OAMNC}=S_梯形OABC-S_△BMN．
∵B（3，1），OP=t，
∴PC=CN=t-3，
∴S=

1

2

（2+3）×1-

1

2

（4-t）²，
S=-

1

2

t²+4t-

11

2

．（10分）

（3）存在．
當O點在拋物線上時，將O（t，t）代入拋物線解析式，解得t=0（舍去），t=1；
當Q點在拋物線上時，Q（

3

2

t，

1

2

t）代入拋物線解析式得t=0（舍去），t=2．
故t=1或2．

點評：本題是一道典型的綜合題，重點考查了二次函數的有關知識以及考生理解圖形的能力，難度較大．