Question

如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點C，A（1，1）、B（3，1）．動點P從O點出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動．過P點作PQ垂直于直線OA，垂足為Q．設P點移動的時間為t秒（0＜t＜4），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．

（1）求經過O、A、B三點的拋物線解析式；

（2）求S與t的函數關系式；

（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使得以C、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

（4）將△OPQ繞著點P順時針旋轉90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）經過O、A、B三點的拋物線解析式為y_＝－x ²＋x.（2分，設解析式給1分）

y

（2）①當0＜t≤2時，重疊部分為△OPQ，過點A作AD⊥x軸于點D，如圖1．

在Rt△AOD中，AD＝OD＝1，∠AOD＝45°．

在Rt△OPQ中，OP＝t，∠OPQ＝∠QOP＝45°．

∴OQ＝PQ＝t．

∴S_＝S_△OPQ＝OQ^·PQ_＝×t×t_＝t ²（0＜t≤2）

②當2＜t≤3時，設PQ交AB于點E，重疊部分為梯形AOPE，

作EF⊥x軸于點F，如圖2．∵∠OPQ＝∠QOP＝45°

 ∴四邊形AOPE是等腰梯形  ∴AE＝DF＝t－2．

∴S_＝S_{梯形AOPE＝} (AE＋OP)^·AD_＝ (t－2＋t)×1

_＝t－1（2＜t≤3）

③當3＜t＜4時，設PQ交AB于點E，交BC于點F，

重疊部分為五邊形AOCFE，如圖3．

∵B（3，1），OP＝t，∴PC＝CF＝t－3．

∵△PFC和△BEF都是等腰直角三角形

∴BE＝BF＝1－₍t－3₎＝4－t

∴S_＝S_{五邊形AOCFE＝}S_梯形OABC －S_△BEF＝ (2＋3)×1－(4－t)²

_＝－t ²＋4t_－（3＜t＜4） ……（5分，每種情況給1分）

（3）只要＝或者＝即可，3－t＝×t  或3－t＝×t

解得t＝2或t＝    ………………………（8分，求出一解給2分，兩解給3分）

（4）存在． t₁＝1，t₂＝2．   …………………（10分，每個值給1分）