Question

如圖，在扇形中，半徑長，;以為直徑作半圓，點是弧上的一個動點，與半圓交于點，⊥于點，與交于點，連結.
 
（1）求證：；
（2）設, ，試求關于的函數關系式，并寫出的取值范圍；
（3）若點落在線段上，當∽時，求線段的長度.

Answer 1

（1）連結AD，根據圓的基本性質可得AD=AB，再根據圓周角定理可得∠ACB＝90°，即AC⊥BD，即可證得結論；（2）y＝，0≤x≤10；（3）

試題分析：（1）連結AD，根據圓的基本性質可得AD=AB，再根據圓周角定理可得∠ACB＝90°，即AC⊥BD，即可證得結論；
（2）在Rt△ADG中，根據勾股定理可表示出DG的長，再證得Rt△AFG∽Rt△DBG，根據相似三角形的性質即可證得結論；
（3）在點D運動過程中，若點G落在線段OB上，且△FOG∽△ABC時，由Rt△AFG∽Rt△ABC，可證得Rt△FOG∽Rt△AFG，再根據相似三角形的性質求解即可.
（1）連結AD

∵點D、B在弧BE上
∴AD=AB
∵點C在半圓O上，AB為半圓O的直徑，
∴∠ACB＝90°，即AC⊥BD，
∴DC＝BC；
（2）∵AD=AB=10，AG=x，
∴BG=10-x，
∵DG⊥AB于點G，
∴在Rt△ADG中，DG²=AD²-AG²=100-x²，
∴DG=
∵∠CAB+∠B＝∠D+∠B＝90°，
∴∠FAG＝∠D，
∴Rt△AFG∽Rt△DBG，
∴FG/AG=BG/DG，
∴FG/x="(10-x)/" ，
∴FG="x(10-x)/"
則y＝FG²=.
其中x的取值范圍為0≤x≤10；
（3）在點D運動過程中，若點G落在線段OB上，且△FOG∽△ABC時，
∵Rt△AFG∽Rt△ABC，
∴Rt△FOG∽Rt△AFG，
∴FG²=AG·OG=x（x-5），
∴=x（x-5），解得：x=
經檢驗可知：AG=.
綜上所述，當△FOG∽△ABC時，AG＝.
點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.