Question

如圖，已知一次函數y=2x+2的圖象與y軸交于點B，與反比例函數y=

k1

x

的圖象的一個交點為A（1，m）．過點B作AB的垂線BD，與反比例函數y=

k2

x

（x＞0）的圖象交于點D（n，-2）．
（1）求k₁和k₂的值；
（2）若直線AB、BD分別交x軸于點C、E，試問在y軸上是否存在一個點F，使得△BDF∽△ACE？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）將A（1，m）代入一次函數y=2x+2中，得：m=2+2=4，即A（1，4），
將A（1，4）代入反比例解析式y=

k1

x

得：k₁=4；
過A作AM⊥y軸，過D作DN⊥y軸，
∴∠AMB=∠DNB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∵AC⊥BD，即∠ABD=90°，
∴∠ABM+∠DBN=90°，
∴∠BAM=∠DBN，
∴△ABM∽△BDN，
∴

AM

BN

=

BM

DN

，即

1

4

=

2

DN

，
∴DN=8，
∴D（8，-2），
將D坐標代入y=

k2

x

得：k₂=-16；

（2）符合條件的F坐標為（0，-8），理由為：
由y=2x+2，求出C坐標為（-1，0），
∵OB=ON=2，DN=8，
∴OE=4，
可得AE=5，CE=5，AC=2

5

，BD=4

5

，∠EBO=∠ACE=∠EAC，
若△BDF∽△ACE，則

BD

AC

=

BF

AE

，即

4 5

2 5

=

BF

5

，
解得：BF=10，
則F（0，-8）．
綜上所述：F點坐標為（0，-8）時，△BDF∽△ACE．