Question

如圖，邊長為a的正方形ABCD沿直線l向右滾動．

（1）當(dāng)正方形滾動一周時(shí)，正方形中心O經(jīng)過的路程為______

Answer 1

【答案】分析：（1）要計(jì)算正方形滾動一周時(shí)，正方形中心O和頂點(diǎn)A所走的路程，就必須弄清它們的運(yùn)動過程：
中心O：當(dāng)正方形滾動一周時(shí)，中心O所經(jīng)過的路程為4段弧，且都是以90°為圓心角、對角線的一半為半徑，因此中心O實(shí)際經(jīng)過的路程是一個(gè)圓，且半徑為對角線的一半，由此得解；
點(diǎn)A：當(dāng)正方形滾動一周時(shí)，點(diǎn)A也經(jīng)過了4段弧，可分作兩部分：
一、以90°為圓心角、對角線長為半徑的兩段弧，二、以90°為圓心角、邊長長為半徑的兩段弧；
可根據(jù)弧長計(jì)算公式進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)（1）題的解題思路可知：當(dāng)點(diǎn)A經(jīng)過的路程為時(shí)，正方形滾動了10周，依此計(jì)算出中心O與初始位置的距離即可．
（3）很明顯∠AA₁B₁是個(gè)鈍角，要想套用題干給出的正切的兩角和公式，就必須從∠AA₁B₁的兩個(gè)補(bǔ)角入手，可設(shè)∠AA₁D=α、∠B₁A₁E=β，易求得兩角的正切值，代入公式中，即可求出tan（α+β）的值，進(jìn)而可得到∠AA₁D+∠B₁A₁E的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角的定義，即可求得∠AA₁B₁的度數(shù)．
解答：解：（1）根據(jù)勾股定理可得：AC=a，即OC=a，
正方形中心O經(jīng)過的路程=π，
點(diǎn)A經(jīng)過的路程==．（6分）


（2）當(dāng)點(diǎn)A經(jīng)過的路程為時(shí)，即正方形滾動了10周，
正方形滾動一周的距離是4a，10周即是40a．（10分）

（3）135°；
驗(yàn)證：設(shè)∠AA₁D=α，∠B₁A₁E=β，則tanα=，tanβ=；
===1，
即α+β=45°，故∠AA₁B₁=180°-（α+β）=135°．（14分）
點(diǎn)評：本題主要是考查了弧長的計(jì)算方法以及銳角三角函數(shù)的定義，能夠發(fā)現(xiàn)正方形滾動過程中，中心和頂點(diǎn)的移動軌跡是解答此題的關(guān)鍵．