Question

如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“勻稱三角形”

（1）已知：如圖1，在△ABC中，∠C=90°，,.

求證：△ABC是“勻稱三角形”；

                                                                 圖1

（2）在平面直角坐標系xoy中，如果三角形的一邊在x軸上，且這邊的中線恰好等于這邊的長，我們又稱這個三角形為“水平勻稱三角形”.如圖2，現有10個邊長是1的小正方形組成的長方形區域記為G, 每個小正方形的頂點稱為格點，A（3，0），B（4，0），若C、D（C、D兩點與O不重合）是x軸上的格點，且點C在點A的左側. 在G內使△PAC與△PBD都是“水平勻稱三角形”的點P共有幾個？其中是否存在橫坐標為整數的點P，如果存在請求出這個點P的坐標，如果不存在請說明理由.

Answer 1

解：

解：（1） 如圖1，作AC邊的中線BD交AC于點D，

∵∠C=90°，BC= 2，AB = 2，

∴AC =  = 4.

∴AD=CD=2.

BD =  = 4

∴AC = BD，

∴ △ABC是“勻稱三角形”

（2）①在G內使△PAC與△PBD都是“水平勻稱三角形”的點P共有  4  個

②在G內使△PAC與△PBD都是“水平勻稱三角形”的點P中，存在橫坐標為整數的點P.

如圖，當C點坐標為（2，0），D點坐標為（3，0）與A重合時，△PAC與△PBD是水平勻稱三角形.

∵A（3，0），C（2，0），

B（4，0），D（3，0）

∴AC＝1，BD＝1

設PM、PN分別為CA、DB上的中線,

∴AM＝ AC＝ ，

AN＝  BD＝ ,

∴AM＝AN=

∴點A為MN的中點.

∵△PAC與△PBD是“水平勻稱三角形”

∴PM＝AC＝1，PN＝BD＝1

∴PM＝PN=1     

∴PA⊥MN，即PA與x軸垂直  

∵A（3，0）

∴P點橫坐標為整數3.

在Rt△PMA中，PM＝1，AM＝

∴PA＝

∴P（3， ）

所以，當C點坐標為（2，0），D點坐標為（3，0）與A重合時，△PAC與△PBD是水平勻稱三角形且P點橫坐標為整數.

解法2. 在長方形區域內使△PAC與△PBD都是“水平勻稱三角形”的點P中，存在橫坐標為整數的點P.

如圖，當C點坐標為（2，0），D點坐標為（3，0）與A重合，P點橫坐標為3時

∵A（3，0），P點橫坐標為3

∴PA與x軸垂直

∵A（3，0），C（2，0），

B（4，0），D（3，0）

∴AC＝1，BD＝1

設AC中點為M，BD中點為N.

∴AM＝AC＝，AN＝ BD＝

∴AM＝AN

要使△PAC與△PBD是水平勻稱三角形

只需PM＝AC＝1，PN＝BD＝1

∵PA與x軸垂直

在Rt△PMA中，PM＝1，AM＝

∴PA＝

∴P（3，）

所以，當C點坐標為（2，0），D點坐標為（3，0）與A重合，△PAC與△PBD是水平勻稱三角形且P點橫坐標為整數.