Question

27、如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，
（1）求證：△BCE≌△DCF；
（2）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）要證明△BCE≌△DCF，已知一對直角相等和一對邊相等，只需再創造一個條件，所以根據已知條件運用角平分線的性質定理即可證明另一對邊對應相等；
（2）結合（1）中的結論進行分析，發現：AB=AE+BE=AF+BE=AD+DE+BE=AD+2BE，求出BE的長，再根據勾股定理求得CE的長，再運用勾股定理進行求解即可．

解答：解：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD=90°，∠CEB=90°（垂線的意義）
CE=CF（角平分線的性質）
∵BC=CD（已知）
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）

（2）（4分）由（1）得，
Rt△BCE≌Rt△DCF
∴DF=EB，設DF=EB=X
∵∠CFD=90°，∠CEB=90°，
CE=CF，AC=AC
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）
∴AF=AE
即：AD+DF=AB-BE
∵AB=21，AD=9，DF=EB=x
∴9+x=21-x解得，x=6
在Rt△DCF中，∵DF=6，CD=10
∴CF=8
∴Rt△AFC中，AC²=CF²+AF²=8²+（9+6）²=289
∴AC=17
答：AC的長為17．

點評：（1）掌握全等三角形的判定方法，能夠根據已知條件探求需要的邊相等或角相等；
（2）注意線段的等量代換，熟練運用勾股定理．