Question

如圖，AB、BC、CD分別與⊙O切于點E、F、G，且AB∥CD，連接CO并延長交⊙O一點M，弦MG的垂直平分線交CD于N，連接MN．
（1）求證：MN是⊙O的切線．
（2）若BE=4.5，CG=8，求MN的長．

Answer 1

分析：（1）連接OG，根據線段垂直平分線求出MN=NG，根據SSS證△OMN≌△OGN，推出∠OMN=∠OGN=90°即可．
（2）連接OE，OG，過B作BQ⊥CN于N，得出矩形BEGQ，求出CQ、BC長，求出EG、BQ，根據切割線定理求出CM，在△CMN根據勾股定理求出MN即可．

解答：（1）證明：
連接OG，
∵CN切⊙O于G，
∴OG⊥CN，
∴∠OGN=90°，
∵ON是MG的垂直平分線，
∴MN=NG，
在△OMN和△OGN中

OM=OG ON=ON MN=NG

，
∴△OMN≌△OGN（SSS），
∴∠OMN=∠OGN=90°，
∴OM⊥MN，
∴MN是⊙O的切線．

（2）解：連接OE，OG，過B作BQ⊥CN于N，
∵AB、CN是⊙O的切線，
∴OE⊥AB，OG⊥CN，
∵AB∥CN，
∴E、O、G三點共線，
∵EG⊥CN，BQ⊥CN，
∴EG∥BQ，∠BQG=90°，
∵AB∥CN，
∴四邊形EBQG是矩形，
∴EG=BQ，∠BQC=90°，BE=GQ=4.5，
∵AB、BC、CD分別與⊙O切于點E、F、G，BE=4.5，CG=8，
∴BF=BE=4.5，CF=CG=8，
∴CQ=8-4.5=3.5，BC=8+4.5=12.5，
在△BQC中，由勾股定理得：EG=BQ=12，
∴OE=OG=OM=OZ=6，
∵CQ是⊙O的切線，CZM是⊙O的割線，
∴CG²=CZ×CM，
∴8²=（CM-12）×CM，
∴CM=16，CM=-4（舍去），
在Rt△NMC中，∠NMC=90°，由勾股定理得：NM²+CM²=CN²，
∴MN²+16²=（8+MN）²，
∴MN=24．

點評：本題綜合考查了切線的性質和判定，切割線定理，勾股定理，切線長定理，矩形的性質和判定等知識點的應用，培養了學生推理能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．