Question

【題目】如圖，直線y=﹣2x+8分別交x軸，y軸于點A，B，直線yx+3交y軸于點C，兩直線相交于點D．

（1）求點D的坐標；

（2）如圖2，過點A作AE∥y軸交直線yx+3于點E，連接AC，BE．求證：四邊形ACBE是菱形；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點F在線段BC上，點G在線段AB上，連接CG，FG，當(dāng)CG=FG，且∠CGF=∠ABC時，求點G的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點D坐標(2，4)；（2）證明見詳解；（3）點G(，)．

【解析】

(1)兩個解析式組成方程組，可求交點D坐標；
(2)先求出點A，點B，點E，點C坐標，由兩點距離公式可求BC=AE=AC=BE=5，可證四邊形ACBE是菱形；
(3)由“AAS”可證△ACG≌△BGF，可得BG=AC=5，由兩點距離公式可求點G坐標．

解：（1）根據(jù)題意可得：，

解得：，

∴點D坐標(2，4)

（2）∵直線y=﹣2x+8分別交x軸，y軸于點A，B，

∴點B(0，8)，點A(4，0)．

∵直線yx+3交y軸于點C，

∴點C(0，3)．

∵AE∥y軸交直線yx+3于點E，

∴點E(4，5)

∵點B(0，8)，點A(4，0)，點C(0，3)，點E(4，5)，

∴BC=5，AE=5，AC5，BE5，

∴BC=AE=AC=BE，

∴四邊形ACBE是菱形；

（3）∵BC=AC，

∴∠ABC=∠CAB．

∵∠CGF=∠ABC，∠AGF=∠ABC+∠BFG=∠AGC+∠CGF，

∴∠AGC=∠BFG，且FG=CG，∠ABC=∠CAB，

∴△ACG≌△BGF(AAS)，

∴BG=AC=5，

設(shè)點G(a，﹣2a+8)，

∴(﹣2a+8﹣8)2+(a﹣0)2=52，

∴a=±，

∵點G在線段AB上，

∴a，

∴點G(，8﹣2)