Question

如圖，矩形ABCD的邊AB在x軸正半軸上且A（1，0），B（4，0），C（4，2），反比例函數在第一象限內的圖象恰好過點C．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）將矩形ABCD分別沿直線CD、BC翻折，得到矩形EFCD、矩形GHBC、線段EF、GH分別交函數圖象于K、J兩點．①求直線KJ的解析式；②若點N是x軸上一動點，直接寫出當|NK-NJ|值最大時N點坐標；
（3）點M在x軸上，在坐標平面內是否存在點P，使得以A、M、C、P為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=圖象過點C（4，2），
∴=2，
解得k=8，
∴反比例函數的解析式為：y=；

（2）①由題意得，點K的縱坐標2×2=4，點J的橫坐標是4+（4-1）=7，
∵點K、J都在反比例函數y=的圖象上，
∴K（2，4），J（7，），
設直線KJ的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線KJ的解析式為y=-x+；
②根據三角形的三邊關系|NK-NJ|＜KJ，
∴當點N在直線KJ與x軸的交點時，|NK-NJ|=KJ最大，
此時-x+=0，
解得x=9，
∴點N的坐標是（9，0）；

（3）存在．
如圖所示，AC為菱形的邊時，存在點P₁（4+，2），
P₂（4-，2），P₃（4，-2），
AC為對角線時，存在點P₄（，2）．
分析：（1）把點C坐標代入反比例函數解析式，根據待定系數法即可求解；
（2）①先根據翻折求出點K的縱坐標的值與點J的橫坐標的值，然后代入反比例函數解析式進行計算求出點K、J的坐標，然后利用待定系數法列式即可求出直線KJ的解析式；
②根據三角形的兩邊之差小于第三邊可知當N為直線KJ與x軸的交點時，|NK-NJ|值最大，求出直線與x的交點即可；
（3）分線段AC是菱形的邊與對角線兩種情況進行求解．
點評：本題綜合考查了反比例函數，菱形的性質，矩形的性質，以及待定系數法求函數解析式，綜合性較強，對同學們的分析問題與解決問題的能力要求較高，（3）中要注意分AC是菱形的邊與對角線兩種情況討論．