Question

【題目】如圖1，在等邊△ABC中，E、D兩點分別在邊AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于點F．

（1）求∠AFE的度數；

（2）過點A作AH⊥CE于H，求證：2FH+FD=CE；

（3）如圖2，延長CE至點P，連接BP，∠BPC=30°，且CF=CP，求的值．

（提示：可以過點A作∠KAF=60°，AK交PC于點K，連接KB）

Answer 1

【答案】（1）∠AFE=60°；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）通過證明 得到對應角相等，等量代換推導出；

（2）由（1）得到， 則在 中利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，等量代換可得；

（3）通過在PF上取一點K使得KF=AF，作輔助線證明和全等，利用對應邊相等，等量代換得到比值.(通過將順時針旋轉60°也是一種思路.)

（1）解：如圖1中．

∵為等邊三角形，

∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，

在和中，

，

∴（SAS），

∴∠BCE=∠DAC，

∵∠BCE+∠ACE=60°，

∴∠DAC+∠ACE=60°，

∴∠AFE=60°．

（2）證明：如圖1中，∵AH⊥EC，

∴∠AHF=90°，

在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，

∴∠FAH=30°，

∴AF=2FH，

∵，

∴EC=AD，

∵AD=AF+DF=2FH+DF，

∴2FH+DF=EC．

（3）解：在PF上取一點K使得KF=AF，連接AK、BK，

∵∠AFK=60°，AF=KF，

∴△AFK為等邊三角形，

∴∠KAF=60°，

∴∠KAB=∠FAC，

在和中，

，

∴(SAS)，

∴∠AKB=∠AFC=120°，

∴∠BKE=120°﹣60°=60°，

∵∠BPC=30°，

∴∠PBK=30°，

∴，

∴，

∵

∴ .