Question

4．已知菱形ABCD的邊長為5，對角線AC的長為6，點E為邊AB上的動點，點F在射線AD上，且∠ECF=∠B，直線CF交直線AB于點M．
（1）求∠B的余弦值；
（2）當點E與點A重合時，試畫出符合題意的圖形，并求出BM的長；
（3）當點M在邊AB的延長線上時，設BE=x，BM=y，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域．

Answer 1

分析 （1）連接BD、AC交于點O，作AH⊥BC于H，由菱形的性質得出AO=OC=3，BO=4，由△ABC的面積求出AH=$\frac{24}{5}$，由勾股定理得出BH，即可得出結果；
（2）由菱形的性質得出∠FAC=∠ACB，證出△ABC∽△ECF，得出對應邊成比例$\frac{AB}{CE}$=$\frac{AC}{EF}$，求出EF，由平行線得出△MBC∽△MAF，得出$\frac{BM}{AM}$=$\frac{BC}{AF}$=$\frac{25}{36}$，即可得出結果；
（3）作EM⊥BC于M，作EG∥BC交CF于G，由（1）知cos∠B=$\frac{7}{25}$，BE=x，得出BM=$\frac{7}{25}$x，由勾股定理得出EM=$\frac{24}{25}$x，CE=$\sqrt{E{M}^{2}+M{C}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-\frac{14}{5}x+25}$，由平行線得出∠GEC=∠ECB，$\frac{BC}{EG}=\frac{BM}{ME}$，證出△BCE∽△CEG，得出對應邊成比例$\frac{BC}{CE}=\frac{CE}{EG}$，得出EG=$\frac{C{E}^{2}}{BC}$=$\frac{5{x}^{2}-14x+125}{25}$，代入比例式即可得出y關于x的函數解析式為y=$\frac{125}{5x-14}$（$\frac{14}{5}$＜x≤5）．

解答 解：（1）連接BD、AC交于點O，作AH⊥BC于H，如圖1所示：
則AO=OC=3，BO=4，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC×AH=$\frac{1}{2}$AC×BO=$\frac{1}{2}$×6×4=12，
∴$\frac{1}{2}$×5×AH=12，
解得：AH=$\frac{24}{5}$，
由勾股定理得：BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
∴cos∠B=$\frac{BH}{AB}$=$\frac{\frac{7}{5}}{5}$=$\frac{7}{25}$；
（2）當點E與點A重合時，符合題意的圖形，如圖2所示：
∵四邊形ABCD為菱形，
∴∠FAC=∠ACB，
∵∠ECF=∠B，
∴△ABC∽△ECF，
∴$\frac{AB}{CE}$=$\frac{AC}{EF}$，即$\frac{5}{6}$=$\frac{6}{EF}$，
解得：EF=$\frac{36}{5}$，
∵BC∥AF，
∴△MBC∽△MAF，
∴$\frac{BM}{AM}$=$\frac{BC}{AF}$=$\frac{5}{\frac{36}{5}}$=$\frac{25}{36}$，
∴$\frac{BM}{BM+5}$=$\frac{25}{36}$，
解得：BM=$\frac{125}{11}$；
（3）作EH⊥BC于H，作EG∥BC交CF于G，如圖3所示：
由（1）知cos∠B=$\frac{7}{25}$，BE=x，
∴BH=$\frac{7}{25}$x，EH=$\sqrt{B{E}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-（\frac{7}{25}x）^{2}}$=$\frac{24}{25}$x，
∴CE=$\sqrt{E{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{（5-\frac{7}{25}x）^{2}+（\frac{24}{25}x）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-\frac{14}{5}x+25}$，
∵EG∥BC，
∴∠GEC=∠ECB，$\frac{BC}{EG}=\frac{BM}{ME}$，
∴△BCE∽△CEG，
∴$\frac{BC}{CE}=\frac{CE}{EG}$，
則EG=$\frac{C{E}^{2}}{BC}$=$\frac{5{x}^{2}-14x+125}{25}$，
∴$\frac{5}{\frac{5{x}^{2}-14x+125}{25}}=\frac{y}{x+y}$，
整理得：y=$\frac{125}{5x-14}$，
即y關于x的函數解析式為y=$\frac{125}{5x-14}$（$\frac{14}{5}$＜x≤5）．

點評 本題是相似形綜合題目，考查了菱形的性質、相似三角形的判定與性質、平行線的性質、勾股定理、三角函數等知識；本題綜合性強，難度較大，特別是（3）中，需要運用勾股定理和證明三角形相似得出比例式才能得出結果．