Question

如圖，已知⊙O的內(nèi)接正十邊形ABCD…，AD與OB、OC交于M、N．
（1）求證：MN∥BC； 
（2）求證：MN+BC=OB．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)OD，OA，先計算出正十邊形的中心角得到∠BOC=∠COD=∠AOB=36°，則∠BOD=72°，根據(jù)圓周角定理得∠A=

1

2

∠BOD=36°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算出∠1=∠2=72°，同理得到∠3=72°，則∠ABC=144°，所以∠A+∠ABC=180°，然后根據(jù)平行線的判定即可得到結(jié)論；
（2）先計算出∠AMB=72°，則∠OMN=∠AMB=72°，利用三角形外角性質(zhì)得∠OMN=∠AOM+∠OAM，則∠OAM=36°，所以O(shè)M=AM，于是三角形全等的判定方法得到△OMN≌△AMB，得到MN=MB，OM=AB，加上AB=BC，然后利用等量代換即可得到結(jié)論．

解答：證明：（1）連結(jié)OD，OA、如圖，
∵BC、CD為⊙O的內(nèi)接正十邊形的邊長，
∴∠BOC=∠COD=

360°

10

=36°，
∴∠BOD=72°，
∴∠A=

1

2

∠BOD=36°，
∵OB=OC，
∴∠1=∠2=

1

2

（180°-36°）=72°，
同理∠3=72°，
∴∠ABC=∠1+∠3=144°，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，
即MN∥BC；

（2）∵∠A=36°，∠3=72°，
∴∠AMB=180°-∠A-∠3=72°，
∴∠OMN=∠AMB=72°，
∵∠OMN=∠AOM+∠OAM，
∴∠OAM=36°，
∴OM=AM，
在△OMN和△AMB中，

∠MON=∠MAB OM=AM ∠OMN=∠AMB

，
∴△OMN≌△AMB，
∴MN=MB，ON=AB，
而OM=ON，
∴OB=OM+BM=AB+MN，
而AB=BC，
∴MN+BC=OB．

點評：本題考查來了正多邊形與圓：把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．